Calcolo tensoriale e variazionale.. un simpatico connubio

Come noto, il calcolo tensoriale è uno strumento molto comodo per la manipolazione di strutture geometriche descritte in spazi curvi, ad esempio in cordinate sferiche, cilindriche, o altri arbitrari spazi curvi descritti da mappe invertibili.
Come anche è noto, il calcolo variazionale consente di minimizzare integrali al variare di un funzionale incognito, questo viene utilizzato molto in fisica ad esempio per la ricerca dello stato di equilibrio di membrane o corde elastiche.

Come trovo ovvio proporre, le due fantastiche teorie, che ad esempio mostrano applicazioni in geometria e nel mio campo dell'elaborazione delle immaigni, possono essere messe assieme, e come trovo ancora più ovvio, possono miscelarsi in maniera molto più profonda di quel che si possa pensare a prima vista (stile deformare membrane elastiche descrivendole all'interno di uno spazio curvo).

Un esempio interessante: ogni superficie semplice in 3D (che non interseca sè stessa, che non è degenere riducendosi parzialmente o completamente a una curva o un punto.. ecc ecc.. ce ne sono un po' di proprietà raggruppate sotto la "semplicità") identifica uno spazio curvo in 2D, questo mi porta a pensare immediatamente alla seguente cosa: se lo spazio curvo fosse l'incognita?

Ragionando: tramite le tecniche variazionali è possibile determinare la posizione di equilibrio di una membrana elastica rispetto a determinate forze esterne e interne di elasticità. L'equazione differenziale di Eulero-Lagrange rende esplicite tali dipendenze da tali forze. Lo scopo però è quello di determinare una superficie! Si immagini ora di avere delle entità bidimensionali immerse in \Re^2, si immagini che tali entità abbiano delle proprietà invarianti che rimangono preservate al variare dello spazio curvo in cui vengono immerse, altre proprietà varianti, che dipendono dallo spazio considerato. E' allora possibile costruire un integrale di superficie, in cui il funzionale integrando esprime le proprietà varianti locali di cui minimizzare la "somma", relative alla rappresentazione in 2D delle entità geometriche di interesse, e dipendenti da una superficie {(x,y,z)|(x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)} con (u,v)\in\Re^2, che identifica la deformazione spaziale di \Re^2.

So che tutto questo buttato lì sembra senza senso.. però mi prodigherò nel mostrare un'applicazione pratica più tangibile.. con dettagli in più.. quando questa idea sarà più matura.