Flatlandia: quesito di dicembre 2006

Questo mese è stato proposto il seguente quesito:

Sono dati due segmenti b e c (b>c).

Disegnare con essi un trapezio rettangolo ABCD di basi AB=b, DC=c e di altezza AD=b+c.

1) Verificare, e poi dimostrare, che la circonferenza di diametro CB incontra il lato AD in due punti che chiameremo P e Q (AP

2) Determinare in funzione di b e c la lunghezza della corda PQ, le distanze di P e Q dai vertici A e D del trapezio e l’area del triangolo BPC.

Il problema sembra molto più complicato di quello che è: infatti se si disegna il trapezio rettangolo.. e se ne disegna un altro ruotato di 180 gradi facendo aderire il lato obliquo, si scopre che il trapezio è in realtà una porzione di un quadrato. Si scopre inoltre che il centro della circonferenza descritta per simmetria è il centro del quadrato. Chiamato X tale punto, essendo il segmento XC (raggio del cerchio) maggiore del semilato del quadrato di lunghezza (b+c)/2, ed essendo minore della semidiagonale di lunghezza sqrt(2)(b+c), devono per forza esserci punti della circonferenza esterni al quadrato e punti interni, ovvero devono esserci due intersezioni con ogni lato del quadrato. Si osservi che l'esistenza delle due intersezioni si può scoprire e dimostrare anche notando che sul lato superiore del quadrato esiste già l'intersezione C, sul lato inferiore esiste l'intersezione B e per simmetria ogni lato deve avere un'intersezione per ognuna delle distanze DB ed AC.


Una ulteriore nota è la seguente: per simmetria la lunghezza dal segmento CD è identica alla lunghezza del segmento DQ; inoltre, sempre per simmetria, si può considerare l'insieme di punti di intersezione della circonferenza con il quadrato come l'insieme dei punti del quadrato di distanza CD=c dai vertici.

Ovviamente il calolo della corda PQ è ora semplice da effettuare:

PQ = AD-AQ-DP = b+c-2c = b-c

Il triangolo BPC infine è rettangolo: infatti per la simmetria della scelta dei punti, BPC si può ottenere dividendo a metà, lungo una diagonale, il quadrato mostrato in figura.


Il lato PB è lungo l=sqrt(c^2+b^2), il triangolo ha quindi area (l^2)/2.